Qué tal aarn71, se bienvenido al foro!
No, son cosas que se contratan por separado, nada que ver una con otra.
Puedes cambiar cuantas veces quieras de hosting, sin necesidad de terminar un plazo concreto ni nada. Basta con poner en el panel de control del dominio las direcciones DNS1 y DNS2 de tu nuevo hosting para que todo funcione de nuevo.
Por ejemplo. Si tienes un dominio llamado aarn.com puede estar alojado en comocreartuweb.com si le pones los DNS siguientes (y si comocreartuweb te lo permite, claro, je je je):
ns1.comocreartuweb.com
ns2.comocreartuweb.com
Si lo quieres pasar a 1&1 has de ponerle al dominio en su panel de control, los DNS de 1&1 que no se cuales, son, pero imagina por ejemplo:
ns1.unoyuno.com
ns2.unoyuno.com
Con solo cambiar esos DNS cambias el hosting de un dominio. Suele tardar un par de dias el traslado, pero funciona así.
Si todo está bien, el dominio NO es de 1&1 sino tuyo. A menos que 1&1 te lo ceda por un tiempo, cuando uno COMPRA un dominio lo compra a SU NOMBRE. Hay vendedores con mucha cara que te lo compran a SU nombre y luego si quieres llevarte el dominio a otro hosting no te lo permiten. Cuidadin.
Para saber si un dominio es tuyo, puedes escribirlo en el formulario de cualquier página de esas que te muestran los datos de cualquier dominio. Mira por ejemplo en
http://www.whoisdominios.com escribe un nombre de dominio y te mostrará de quién es.